总的分类

根据变量的连续与否，F.T.总共有三种。

  • 完全离散
$$\begin{align*} \sum_l e^{-i\frac{2\pi}{N}k'l} e^{i\frac{2\pi}{N}kl}=N\delta_{kk'} \end{align*}$$
  • 部分离散
$$\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ik'x} e^{ikx} \mathrm{d}x = L \delta_{kk'} \end{align*}$$
  • 完全连续
$$\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ikx} e^{ik'x} \mathrm{d}x = 2\pi \delta (x-x') \end{align*}$$

部分离散

动量本征函数

$$\begin{align*} \frac{\hbar}{i} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \psi = p \psi\quad \Longrightarrow\quad \psi = e^{i\frac{p}{\hbar}x} \end{align*}$$

归一化

$$\begin{align*} \langle e^{ikx} \mid e^{ikx'} \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ikx} e^{ikx'} \mathrm{d}k = \int_{-\infty}^{\infty} e^{ik(x'-x)} \mathrm{d}k = 2\pi \delta(x-x') \end{align*}$$

周期为 $L$

$f(x)$ 是周期函数

$$\begin{align*} f(x+L) = f(x) \end{align*}$$

将 $x$ 从 $2\pi$ 拉伸到 $L$

$$\begin{align*} x \rightarrow x \cdot \frac{2\pi}{L}​ \end{align*}$$

相应归一化到 $L$

$$\begin{align*} \langle e^{ikx \cdot \frac{2\pi}{L}} \mid e^{ikx' \cdot \frac{2\pi}{L}} \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-ikx \cdot \frac{2\pi}{L}} e^{ikx' \cdot \frac{2\pi}{L}} \mathrm{d}k = L \delta(x-x') \end{align*}$$

Fourier展开系数由下式求得

$$\begin{align*} f(x)= \frac{1}{L} \sum_k \mid e^{ikx \cdot \frac{2\pi}{L}} \rangle \langle e^{ikx \cdot \frac{2\pi}{L}} \mid f(x) \rangle = \sum_k e^{ikx \cdot \frac{2\pi}{L}} C_k \end{align*}$$ $$\begin{align*} C_k = \frac{1}{L} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-ikx \cdot \frac{2\pi}{L}} \mathrm{d}x \end{align*}$$

完全连续

当周期 $L \rightarrow \infty​$ 时，$\frac{2\pi}{L} \rightarrow 0​$ ，指数上的 $k\frac{2\pi}{L}​$ 由原来离散的取值 $\frac{2\pi}{L}, 2\frac{2\pi}{L}, 3\frac{2\pi}{L}, \cdots​$ 变成连续的变量，记为新的 $k​$ ，且 $\mathrm{d}k = \frac{2\pi}{L}​$ 。

则Fourier展开变为

$$\begin{align*} f(x) = \lim_{L\rightarrow \infty} \frac{1}{2 \pi}\frac{2\pi}{L} \sum_k \mid e^{ikx\cdot\frac{2\pi}{L}}\rangle\langle e^{ikx\cdot\frac{2\pi}{L}}\mid f(x) \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}k \frac{1}{2\pi}\mid e^{ikx\cdot\frac{2\pi}{L}}\rangle\langle e^{ikx\cdot\frac{2\pi}{L}}\mid f(x) \rangle \\\\=\frac{1}{2\pi} \int _{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}k\int _{-\infty}^{\infty}\mathrm{d}x' e^{ikx}\cdot e^{-ikx'}f(x') \end{align*}$$

也就是

$$\begin{align*} f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}k \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}x' e^{ik(x-x')} f(x') \end{align*}$$

完全离散

类似群论中的不可约表示。

$$\begin{align*} \sum_l e^{-i\frac{2\pi}{N}k'l} e^{i\frac{2\pi}{N}kl}=N\delta_{kk'} \end{align*}$$